Calculando o valor esperado de um pacote de booster

A Cards Realm estreou na página de cada set informações relevantes sobre ele. De exemplo, podemos ver na página de Modern Horizons os seguintes dados: número total de cartas, preço médio de não-foil, preço médio das foils, dia de lançamento, código do MTGO, tipo de set e

valor esperado de cada booster

. Como houve dúvidas sobre como chegamos no valor esperado de cada booster, vim aqui esclarecer como o calculamos.

PROBABILIDADES

Um booster normalmente contém 16 cartas, sendo a penúltimo um terreno básico; e a última um token ou uma carta promocional. Dentre as 14 cartas com valor, temos 4 combinações possíveis: • 10 comuns, 3 incomuns e 1 rara • 10 comuns, 3 incomuns e 1 mítica • 9 comuns, 3 incomuns, 1 rara e 1 foil • 9 comuns, 3 incomuns, 1 mítica e 1 foil Vamos agora para algumas probabilidades: • Probabilidade de conseguir uma foil em um booster = 23 % • Probabilidade de vir uma mítica em vez de rara = 12,5 % Aproximadamente a cada 8 pacotes, teremos 1 mítica. E a cada 4 boosters, 1 foil. Caso você tenha dúvidas nesses números, este tópico no stackexchange foi bem esclarecedor. O usuário

ancestral

disponibilizou as probabilidades de conseguir uma carta em cada raridade, já que elas estão ligadas diretamente com a quantidade de impressão que há nas folhas de cortes. Estas probabilidades foram testadas com a realidade e de fato fazem sentido. As foils precisam de uma atenção própria e possuem outras probabilidades: • Probabilidade da foil ser comum: 57,1% • Probabilidade da foil ser incomum: 28,6% • Probabilidade da foil ser rara: 12.5% • Probabilidade da foil ser mítica: 1.8%

PRECIFICAÇÃO

Para podermos saber o valor esperado de cada booster, precisamos saber o preço médio das cartas em cada raridade. Em nosso banco de dados, temos preços das cartas da Cards Kingdom e da TCG player. Vamos usar a Cards Kingdom para identificar o preço das cartas, já que ela só apresenta preços em NM. Há uma particularidade no Magic, dificilmente você irá vender cartas abaixo de 4 reais. Cria-se uma regra então:

cartas com preço inferior a 4 reais passam a valer 0 reais

.

Em uma edição como Guerra da Centelha

: • Preço médio das míticas: R$ 42,53 • Preço médio das míticas foil: R$ 93,08 • Preço médio das raras: R$ 8,04 • Preço médio das raras foil: R$ 28,88 • Preço médio das incomuns: R$ 0,26 • Preço médio das incomuns foil: R$ 8,52 • Preço médio das comuns: R$ 0,00 • Preço médio das comuns foil: R$ 0,15 A tendência, como pôde ver, é não haver comuns acima de 4 reais, logo o preço médio é zero.

VALOR ESPERADO

Valor esperado ou EV (Expected value) seria o valor mais esperado de ocorrer entre os possíveis, em outras palavras, a média. A média da soma de diferentes distribuições é a soma da média de cada uma dessas distribuições. Então, se queremos saber o valor médio de um booster, devemos somar o valor médio de cada carta que está dentro dele.

Vamos começar menor, o preço esperado de um booster será a soma dos preços médios das cartas que estão lá dentro. Se há 10 comuns, 3 incomuns e 1 rara:

O somatório do mesmo valor se torna uma multiplicação:

Em Guerra da Centelha, nosso booster sem foil nem mítica teria o seguinte valor:

Verifica-se que o valor esperado de um booster está muito ligado com o valor esperado da rara.

Só que um booster tem 23% de chance de vir foil e 12,5% de chance de vir mítica, como incluir essas probabilidades na equação?

Vamos responder essa pergunta tomando sempre o set de Guerra da Centelha como exemplo. Quando temos foil, temos 9 comuns invés de 10. 77% das vezes teremos 10 comuns e 23% das vezes teremos 9 comuns. Portanto, o valor esperado das comuns:

As incomuns não se alteram:

Em 87,5% das vezes teremos uma rara:

Em 12,5% das vezes teremos uma mítica:

As foils devem contabilizar suas probabilidades particulares, virando uma média ponderada das probabilidades em cada raridade com seus respectivos valores esperados. Como temos apenas 23% de chance de achar uma foil, o valor esperado de foils em boosters tem que ser multiplicado por 23%:

Valor esperado de um Booster de Guerra da Centelha:

O valor esperado de um booster de Guerra da Centelha é de aproximadamente 15 reais. Esse valor faz sentido:

um booster standard tem que ter valor esperado menor que 17 reais

. Se o valor esperado ultrapassar 17 reais, veremos no mercado lojistas pedindo mais boxes e abrindo as atuais para venda imediata: com mais cartas à venda, o preço geral delas caí, também caindo o valor esperado.

RESSALVAS

• Para facilidade do cálculo, consideramos o valor esperado de 10 comuns sendo dez vezes o valor esperado de uma comum. Isso não é verdade na realidade, visto que em um booster não há comuns iguais. • Existe edições que não há mítica, isso é fácil de perceber e é só remover o peso do valor esperado nas raras. • Existe edições que a FOIL não é uma carta extra e sim substitui uma carta dentro do pacote. O cálculo tem que ser totalmente adaptado para esses casos. • As míticas de Guerra da Centelha estão super inflacionadas. A Wizards considera a Buy a Box e os planeswalkers deck como fazendo parte do Set. Logicamente, não conseguiríamos essas cartas em um booster. Para removermos essas cartas teríamos que saber o número de cartas em boosters de cada set e remover as cartas com numeração superior (sim, apesar de em um set a wizards informar que existem 264 cartas, a buy a box ou cartas dos planeswalkers decks aparecem com numeração superior). Reparem no número do Tezzeret abaixo:

CONCLUSÃO

É possível com ressalvas calcular o valor esperado de um pacote de booster caso você tenha os preços em um banco de dados. Se gostaram desse artigo me avisem que posso continuar fazendo algo similar. Mostramos nesse caso o valor esperado, mas é também possível calcular a variância e as probabilidades de um pacote de booster dar lucro, entre muitas outras coisas; tudo isso sem precisar resolver por simulação.